La voiture ou les transports ? La reine en A6 ou le cavalier en B3 ? Transmettre l’information ou la garder ? La compétition ou la coopération ? La théorie des jeux et ses succès nous aident à répondre à ces questions et bien d’autres !
La théorie des quoi ?
La théorie des jeux est une branche des mathématiques qui analyse la prise de décision d’humains, animaux, machines ou logiciels, appelés joueurs, qui s’influencent mutuellement. Les choix des joueurs résultent en une situation appelée issue du jeu qui attribue à chacun un gain (e.g. temps d’attente sur la route en cas de congestion). Si vos choix ont un d’effets sur les autres et que ceux des autres ont un effet sur vous, alors vous êtes dans un jeu !
« Sachant que je pense savoir ce qu’il pense avec quasi-certitude, la reine en A6 ou le cavalier en B3 ? »
Un exemple typique de jeu dans la vie quotidienne est le jeu d’échecs. Deux joueurs font face à un plateau et prennent des décisions l’un après l’autre. A chaque fois que c’est à son tour, un joueur choisit une pièce et la déplace. Cette décision résulte en un nouvel état des pièces sur le plateau. Typiquement, quand un joueur joue, il le fait en vue d’une configuration jugée la plus favorable (« Je peux gagner si j’arrive à prendre le fous en G5 »).
Plus généralement, il existe de nombreuses situations d’interactions de ce type. Certaines sont quotidiennes (au volant de notre voiture, nous prenons des décisions selon le trafic résultant des choix des conducteurs), d’autres sont plus « macroscopiques ». Un marché économique peut être vu comme un jeu. Chaque entreprise du marché prend des décisions qui ont un impact sur son positionnement, son avantage concurrentiel et ses performances (profits, volumes, coûts, etc.). Cet impact est notamment le résultat de la réponse du marché (clients, fournisseurs, concurrence, etc.) à ces décisions.
« Si j’avais su que tout le monde avait pris cette route, j’aurais pris à droite… »
D’accord, on joue souvent. Mais pourquoi en faire une théorie ?
Le fait que les jeux soient partout ne permet pas d’en comprendre les mécanismes et même si des intuitions ou raisonnements logiques permettent parfois de les résoudre ils ne sont souvent ni triviaux, ni suffisants, ni scientifiquement viables… Un des objectifs principaux de la théorie des jeux est de prédire mathématiquement les décisions des joueurs et leurs gains. Un concept fondamental est la notion d’équilibre qui caractérise une position stable dans la prise de décision. L’équilibre le plus connu est l’équilibre de Nash définie par le mathématicien John Nash dans les années 1950 (prix Nobel d’économie 1994 – J.F. Nash, R. Selten et J. Harsanyi).
Si demain matin dans les embouteillages vous préférez changer de route pour gagner du temps à cause des bouchons alors votre itinéraire de départ n’était pas à l’équilibre avec le trafic (i.e. les choix des autres conducteurs) !
Autre exemple, considérons un marché où des entreprises vendent chacune un bien. Supposons que les choix stratégiques se réduisent à la détermination des prix de vente des produits. Dans ce cas, un équilibre de Nash serait un ensemble de prix (à raison de un prix par produit) tel que les gains perçus n’incitent aucune des entreprises à changer le prix de son produit. Un exemple de jeu utilisé pour l’analyse des politiques tarifaires est le « dilemme du prisonnier ».
En fait, c’est chacun pour soi dans les jeux…
Pas nécessairement, dans certains cas les joueurs peuvent s’entendre et coopérer, voire même former des groupes appelés coalitions. Pour exemple, quand plusieurs pays s’allient pour augmenter leur puissance économique, ils forment une coalition. Intuitivement, on comprend ici que les problèmes des jeux coopératifs sont la formation de ces coalitions, les choix stratégiques dans les coalitions et l’équité dans le partage des gains (« si c’est pas pour gagner un peu, je préfère rester tout seul ! »).
« Existe-t-il des mariages stables ? »
Un autre exemple intéressant, est le jeu de mariages où l’on se pose la question de savoir si il existe une manière de marier hommes et femmes de façon à ce que personne ne veuille divorcer. Dans ce cas, les coalitions sont les couples. Un couple se forme car chacun des partenaires le préfère. Cet exemple dit « jouet » résolu en 1962 a généré la branche des jeux d’appariements stables qui connaissent un grand succès en économie notamment pour la conception de certains mécanismes d’associations et d’allocations (prix Nobel d’économie 2012 – A.E. Roth et L.S. Shapley).
On peut quand même pas tout faire avec ça ?
Évidemment…non. Afin de pouvoir rester mathématiquement manipulables, la modélisation par les jeux passe souvent par l’abstraction de certains détails. Il n’est souvent pas possible d’intégrer la richesse et la complexité de notre monde et de nos systèmes dans les analyses mathématiques. Néanmoins, ne pas tenir compte de certains facteurs ou utiliser un « mauvais jeu » (e.g. jeu non-répété vs jeu répété) peut mener à des résultats valides mais ne correspondant pas à la réalité du problème. Une autre limitation vient du fait que de nombreux résultats reposent sur des hypothèses comportementales (type « j’en veux toujours plus »). Négliger la validité de ces hypothèses peut encore mener à des résultats justes mais en décalage avec la réalité du problème. Finalement, les jeux ne sont adaptés qu’aux situations de prises de décisions avec de l’interaction. Si ce n’est pas le cas, d’autres méthodes mathématiques telles que l’optimisation (dont la recherche opérationnelle), la théorie du contrôle ou les méthodes d’apprentissage peuvent résoudre le problème.
Mais en vrai, ça sert ou pas ?
Oui ! En termes d’applications, la théorie des jeux a un impact sur notre société. Elle a été utilisée dès le milieu du XXe siècle par la RAND Corporation pour l’analyse et la résolution de situations de conflits dans le cadre du programme de défense national américain. La théorie des mécanismes d’incitations (prix Nobel d’économie 2007 – L. Hurwicz, E.S. Maskin and R.B. Myerson) a aussi connu un grand succès par leur application dans l’internet, en particulier dans les places de marchés en ligne de ventes aux enchères d’encarts publicitaires ou de liens sponsorisés. Les jeux d’appariements stables sont utilisés pour la conception de mécanismes d’associations de certains marchés bifaces tels que l’allocation d’étudiants dans des collèges ou d’internes dans des hôpitaux. Finalement, citons également la théorie de l’organisation industrielle (prix Nobel d’économie 2014 – J. Tirole) et l’utilisation des jeux en biologie, politique et réseaux pour le développement de nouveaux mécanismes d’allocation de ressources, la rentabilisation du spectre ou la sécurité.
Je retiens quoi de tout ça moi ?
Trois choses! Premièrement, un jeu est une situation où les participants font des choix qui ont un impact sur les autres participants. Il existe beaucoup de situations de ce type. Elles font partie de notre quotidien. Deuxièmement, la théorie des jeux propose de formaliser mathématiquement l’analyse de ces situations. L’objectif est de comprendre les choix, les prédire et développer des mécanismes appropriés à la prise de décision. Troisièmement, c’est une théorie très fructueuse qui connait de grands succès en économie. Elle est aussi utilisée dans d’autres domaines tels que la biologie ou les réseaux. Le potentiel est encore grand et le développement de cette théorie va de pair avec celui de notre monde. A vous de jouer !
